线性代数示例

$- 3 + 4 i$

解题步骤 1

使用公式 $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 计算从 $(a, b)$ 到原点的距离。

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}}$

解题步骤 2

化简 $\sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{9 + 4^{2}}$

解题步骤 2.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{9 + 16}$

解题步骤 2.3

将 $9$ 和 $16$ 相加。

$r = \sqrt{25}$

解题步骤 2.4

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$r = \sqrt{5^{2}}$

解题步骤 2.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$r = 5$

解题步骤 3

计算参考角 $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ 。

$θ̂ = \arctan (| \frac{4}{- 3} |)$

解题步骤 4

化简 $\arctan (| \frac{4}{- 3} |)$ 。

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解题步骤 4.1

将负号移到分数的前面。

$θ̂ = \arctan (| - \frac{4}{3} |)$

解题步骤 4.2

$- \frac{4}{3}$ 约为 $- 1.\overline{3}$ ，因其为负数，所以对 $- \frac{4}{3}$ 取反并去掉绝对值

$θ̂ = \arctan (\frac{4}{3})$

解题步骤 4.3

计算 $\arctan (\frac{4}{3})$ 。

$θ̂ = 0.92729521$

解题步骤 5

因为 $x$ 是负数而 $y$ 是正数，所以该点位于第二象限。各象限从右上角开始按逆时针方向进行标记。

象限 $2$

解题步骤 6

$(a, b)$ 位于第二象限。 $θ = π - θ̂$

$θ = π - 0.92729521$

解题步骤 7

化简 $θ$ 。

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解题步骤 7.1

使用小数的近似值替换。

$3.14159265 - 0.92729521$

解题步骤 7.2

从 $3.14159265$ 中减去 $0.92729521$ 。

$2.21429743$

解题步骤 8

使用公式求复数的根。

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

解题步骤 9

将 $r$ 、 $n$ 和 $θ$ 代入公式。

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解题步骤 9.1

使用小数的近似值替换。

${(5)}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π k}{3}$

解题步骤 9.2

从 $3.14159265$ 中减去 $0.92729521$ 。

${(5)}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{2.21429743 + 2 π k}{3}$

解题步骤 9.3

组合 ${(5)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{2.21429743 + 2 π k}{3}$ 。

$c i s \frac{{(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)}{3}$

解题步骤 9.4

组合 $c$ 和 $\frac{{(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)}{3}$ 。

$i s \frac{c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))}{3}$

解题步骤 9.5

组合 $i$ 和 $\frac{c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))}{3}$ 。

$s \frac{i (c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)))}{3}$

解题步骤 9.6

组合 $s$ 和 $\frac{i (c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)))}{3}$ 。

$\frac{s (i (c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))))}{3}$

解题步骤 9.7

去掉圆括号。

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解题步骤 9.7.1

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c (5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))))}{3}$

解题步骤 9.7.2

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c \cdot 5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)))}{3}$

解题步骤 9.7.3

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c \cdot 5^{\frac{1}{3}}) (2.21429743 + 2 π k))}{3}$

解题步骤 9.7.4

去掉圆括号。

$\frac{s (i c \cdot 5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))}{3}$

解题步骤 9.7.5

去掉圆括号。

$\frac{s (i c \cdot 5^{\frac{1}{3}}) (2.21429743 + 2 π k)}{3}$

解题步骤 9.7.6

去掉圆括号。

$\frac{s (i c) \cdot 5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)}{3}$

解题步骤 9.7.7

去掉圆括号。

$\frac{s i c \cdot 5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)}{3}$

解题步骤 10

将 $k = 0$ 代入公式并化简。

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解题步骤 10.1

去掉圆括号。

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (0)}{3})$

解题步骤 10.2

使用小数的近似值替换。

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (0)}{3})$

解题步骤 10.3

从 $3.14159265$ 中减去 $0.92729521$ 。

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (0)}{3})$

解题步骤 10.4

乘以 $2 π (0)$ 。

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解题步骤 10.4.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 0 π}{3})$

解题步骤 10.4.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 0}{3})$

解题步骤 10.5

将 $2.21429743$ 和 $0$ 相加。

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743}{3})$

解题步骤 10.6

用 $2.21429743$ 除以 $3$ 。

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot 0.73809914$

解题步骤 10.7

将 $5^{\frac{1}{3}} c i s$ 乘以 $0.73809914$ 。

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (0.73809914)$

解题步骤 11

将 $k = 1$ 代入公式并化简。

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解题步骤 11.1

去掉圆括号。

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (1)}{3})$

解题步骤 11.2

使用小数的近似值替换。

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (1)}{3})$

解题步骤 11.3

从 $3.14159265$ 中减去 $0.92729521$ 。

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (1)}{3})$

解题步骤 11.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π}{3})$

解题步骤 11.5

将 $2.21429743$ 和 $2 π$ 相加。

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{8.49748274}{3})$

解题步骤 11.6

用 $8.49748274$ 除以 $3$ 。

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot 2.83249424$

解题步骤 11.7

将 $5^{\frac{1}{3}} c i s$ 乘以 $2.83249424$ 。

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (2.83249424)$

解题步骤 12

将 $k = 2$ 代入公式并化简。

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解题步骤 12.1

去掉圆括号。

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (2)}{3})$

解题步骤 12.2

使用小数的近似值替换。

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (2)}{3})$

解题步骤 12.3

从 $3.14159265$ 中减去 $0.92729521$ 。

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (2)}{3})$

解题步骤 12.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 4 π}{3})$

解题步骤 12.5

将 $2.21429743$ 和 $4 π$ 相加。

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{14.78066804}{3})$

解题步骤 12.6

用 $14.78066804$ 除以 $3$ 。

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot 4.92688934$

解题步骤 12.7

将 $5^{\frac{1}{3}} c i s$ 乘以 $4.92688934$ 。

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (4.92688934)$

解题步骤 13

列出解。

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (0.73809914)$

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (2.83249424)$

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (4.92688934)$

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